Laju Pertumbuhan (Pemodelan Matematika 1)

Tugas Pemodelan Matematika 1

1. Diketahui populasi awal mikroba organik ( Bio-Extrim, Organox, Hormax, Raja Rhizo, EM4, Hantu, Evagrow, Ciremai, Sugih Harja, Tri Plus, Tirdjo dan masih banyak lagi merek lokal lainnya) 100 ekor, setelah dilakukan budidaya selama satu perioda diperoleh data populasi menjadi 1400 ekor. Ketika budidaya dimodifikasi dengan campuran kepala udang produksi meningkat dalam satu perioda/proses menjadi 2500 ekor. Mahasiswa PM1 diminta menghitung laju pertumbuhan mikroba ke-2 cara tersebut oleh praktisi pembudidaya dengan mengabaikan faktor biaya tambahan.

Jawab:

Diketahui : y0 = 100 ekor

yn = 1400 ekor

ynm = 2500 ekor

diasumsikan : 1 periode (t) = 24 (dalam jam)

Sehingga, untuk laju pertumbuhannya sebesar :

yn = y0 . e^kt

1400 = 100 . e^k.24

24k = ln 1400/100

k = 2,639/24

k = 0,109

k = 10,9 %

ynm = yn . e^kt

2500= 1400 . e^k.24

24k = ln 2500/1400

k = 0,5798/24

k = 0,024

k = 2,4 %

sehingga laju pertumbuhan (k) untuk y0 = 100 dan yn = 1400 sebesar 10,9 %. Sedangkan laju pertumbuhan (k) untuk yn = 1400 dan ynm = 2500 sebesar 2,4 %

Namun jika kita mengasumsikan y0 = 100 dan yn = 2500, maka laju pertumbuhannya sebagai berikut:

yn = y0 . e^kt

2500 = 100 . e^k.24

24k = ln 2500/100

k = 3,218/24

k = 0,134

k = 13,4 %

2. Disajikanlah informasi kedua jenis usaha berikut (linier dan exp) kebentuk tabel pertumbuhan usaha/bisnis selama 10 hari dan hitung masing-masing laju pertumbuhannya:

Jawab :

● Laju pertumbuhan dengan model linear

y0 = 2 juta

y10 = 5 juta

Model nya : ∆y = k.y0.∆t

Karena di ketahui ∆y = y10-y0 dengan y10 = 5 juta, y0=2 juta jadi ∆y = 5 juta-2 juta dan untuk , ∆t = 10.

∆y = k.y0.∆t

3 juta = k . 2 juta . 10

3 juta = 20 juta . k

k= (3 juta)/(20 juta) = 0,15

Sehingga laju pertumbuhan untuk model linear yaitu sebesar 0,15 = 15 %

Dengan perhitungan sebagai berikut:

y1 = Rp2.000.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp2.000.000 + Rp300.000

= Rp2.300.000

y2 = Rp2.300.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp2.300.000 + Rp300.000

= Rp2.600.000

y3 = Rp2.600.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp2.600.000 + Rp300.000

= Rp2.900.000

y4 = Rp2.900.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp2.900.000 + Rp300.000

= Rp3.200.000

y5 = Rp3.200.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp3.200.000 + Rp300.000

= Rp3.500.000

y6 = Rp3.500.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp3.500.000 + Rp300.000

= Rp3.800.000

y7 = Rp3.800.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp3.800.000 + Rp300.000

= Rp4.100.000

y8 = Rp4.100.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp4.100.000 + Rp300.000

= Rp4.400.000

y9 = Rp4.400.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp4.400.000 + Rp300.000

= Rp4.700.000

y10= Rp4.700.000 + ( 15% x Rp2.000.000 )

= Rp4.700.000 + Rp300.000

= Rp5.000.000

● Laju pertumbuhan dengan model eksponensial

y0= 2 juta , y10= 7 juta dan t =10

Maka,

y= y0 . e^kt

7 juta = 2 juta . e^kt

10 k = ln 7/2

10 k = 1,25

k = 1,25/10 =0,125

k = 12,5 %

Sehingga , laju pertumbuhan untuk model eksponensial yaitu sebesar 12,5%.

Dengan perhitungan sebagai berikut :

y = y0 . e^kt

keterangan y0 = modal awal = 2 juta, k= 0,125

y0 = Rp2.000.000

y1 = Rp2.000.000 x e0,125.(1)

=Rp2.266.296,906

y2 = Rp2.000.000 x e0,125.(2)

=Rp2.568.050,833

y3 = Rp2.000.000 x e0,125.(3)

=Rp2.909.928,829

y4 = Rp2.000.000 x e0,125.(4)

=Rp3.297.442,541

y5 = Rp2.000.000 x e0,125.(5)

=Rp3.736.491,915

y6 = Rp2.000.000 x e0,125.(6)

=Rp4.234.000,033

y7 = Rp2.000.000 x e0,125.(7)

=Rp4.797.750,588

y8 = Rp2.000.000 x e0,125.(8)

=Rp5.436.563,657

Y9 = Rp2.000.000 x e0,125.(9)

=Rp5.436.563,657

y10 = Rp2.000.000 x e0,125.(10)

=Rp6.980.685,915

Sehingga y10 mendekati Rp7.000.000 seperti yang tertera pada grafik eksponensial